維度詛咒

我所專注的電信系統評估，需要調整多個參數，往往得畫出數百張效能評估圖來找出最佳解答。

最常面臨的問題之一是所謂的「維度詛咒」（Curse of Dimensionality）。當資料的維度（亦即參數）增加後，要找到所有可能參數組合的困難度會迅速倍增至無法處理的地步。維度詛咒的挑戰，正如我們在AI或大數據領域所面臨的困境：當資訊過於龐雜，人類必須尋找方法「降維」，才能以有限的視角理解無窮的世界。

這個問題由發明動態規劃（Dynamic Programming）的理查・貝爾曼（Richard Bellman, 1920～1984）所提出。他的「維度詛咒」警告，提醒我們在多維度情境下計算與搜尋的困境。後續並沒有單一數學家「解決」這個問題，而是透過一系列方法來部分緩解，例如降維（Dimension Reduction）、主成分分析（PCA）、隨機投影等。

在眾多相關學者之中，戴爾可尼司（Persi Diaconis；1945年生）的故事特別引人入勝。

他出生於音樂世家，曾在世界著名的茱麗亞學院（The Juilliard School）研修小提琴近9年。14歲時，他遇到美國魔術大師維農（Dai Vernon, 1894～1992），覺得魔術比拉小提琴更有趣，於是逃家跟隨維農各處巡迴表演。16歲時，他獨立行走江湖賣藝。

24歲時，他深感魔術技巧進入瓶頸，應該尋求一些理論基礎，以提升他的表演。因此，他在書店找到一本機率的入門書《Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. I》，由斐勒（William Feller, 1906~1970）所寫。結果發現難以理解，於是決定進大學學習機率。最終，他成為史丹佛大學統計系的Mary V. Sunseri講座教授。戴爾可尼司並沒有「解決」維度詛咒，但他的研究在隨機性、馬可夫鏈與高維幾何方面提供降維與分析的啟發，對相關領域影響深遠。

當維度降到2或3時，結果就能以統計圖表呈現。常用的統計圖表包括圓餅圖（Pie Chart）、曲線圖（Line Graph）和條狀圖（Bar Graph）。

許多人以為圓餅圖是由南丁格爾（Florence Nightingale, 1820～1910）所創，事實上，最早的圓餅圖是由英國工程師暨政治經濟學家普萊菲（William Playfair, 1759~1823）所發明。他曾擔任發明蒸氣機的瓦特（James Watt）的助理，幫忙繪製工程圖，也參與不少發明。他在1801年的著作《統計學摘要》（Statistical Breviary）中首次使用圓餅圖，顯示土耳其帝國在亞歐非三洲所佔的面積。

南丁格爾的貢獻則在於善用圖表來推動改革。她在克里米亞戰爭中觀察到病死的士兵遠多於戰死者，但僅靠數字報告難以引起重視。於是她創造了一種玫瑰圖（Coxcomb diagram），這是一種與圓餅圖相似的放射狀圖表，用以強調護理改革的成效。她的圖表設計雖然被部分統計學家批評「不易精確比較」，但在當時確實發揮巨大說服力，讓英軍投入更多資源改善醫療條件，拯救無數生命。

相較於圓餅圖，條狀圖在大部分情境下表達訊息更好。條狀圖同樣是由普萊菲所發明，他常說「文不如表，表不如圖」: 這句話也是我寫論文時所奉行的準則。

在愛丁堡有一條樓梯小徑紀念普萊菲。他的名字也取得很妙。我常說：「Playfair used graphs and charts to play fair」。